Properties of generalized sum-of-digits functions and the distribution of digital sequences / eingereicht von: Roswitha Hofer

• VerfasserIn: Hofer, Roswitha
• Place / Publishing House: 2009
• Year of Publication: 2009
• Language: English
• Classification: 31.14 - Zahlentheorie
• Physical Description: XIII, 138 S.
• Notes: Zsfassung in dt. Sprache
• ac_no: AC07806322
• Hierarchical level: Monograph
• Statement of Responsibility: eingereicht von: Roswitha Hofer

ger: In this thesis various properties of certain digital sequences are investigated. We introduce a far reaching generalization of the q-ary sum-of-digits function and study its average growth behavior. In detail we search for conditions for existence of a formula in the sense of Delange, who derived a `nice' formula for the first moment of the ordinary q-ary sum-of-digits function. The obtained results generalize many previous findings about special generalized versions of the sum-of-digits function. Furthermore, it is dealt with the distribution modulo one of multidimensional sequences connected to generalized sum-of-digits functions and a condition is obtained for the uniform distribution of the joint version of the weighted sum-of-digits functions in pairwise coprime bases. Thereby, an open question posed by Pillichshammer is partially answered. Furthermore, we introduce the class of the so called ``Niederreiter-Halton sequences'', which represents an extension of the class of low-discrepancy van der Corput-Halton sequences on the one hand and of the class of digital (T,s)-sequences, which generalize the low-discrepancy digital (t,s)-sequences in the sense of Niederreiter, on the other. It turns out that the joint distribution of the integer-weighted q-ary sum-of-digits functions modulo q in pairwise coprime bases is linked to the distribution of the Niederreiter-Halton sequences. From the investigation done on the joint distribution of the weighted sum-of-digits functions we are able to deduce a full characterization of the uniformly distributed Niederreiter-Halton sequences and also for certain subsequences. As hybrids of well-known low-discrepancy sequences the Niederreiter-Halton sequences awaken interest in a more detailed investigation of their distribution properties. Although the investigation of the discrepancy of the Niederreiter-Halton sequences appears as a problem of considerable difficulty, in this thesis the discrepancy of certain Niederreiter-Halton sequences is analyzed. In the course of the investigation of the distribution modulo one the so called ``finite row Niederreiter-Halton sequences'' emerge as a subclass of particular interest. In the last part of this thesis, we prove existence of certain finite row Niederreiter-Halton sequences and even provide precise construction principles.<br /> eng: In dieser Doktorarbeit werden verschiedene Eigenschaften von bestimmten digitalen Folgen untersucht. Zu Beginn wird eine weitreichende Verallgemeinerung der Ziffernsumme eingeführt und das mittlere Wachstum untersucht. Insbesondere wird in diesem Zusammenhang nach Bedingungen gesucht, die eine Existenz einer Formel im Sinne von Delange sichern. Die erhaltenen Resultate verallgemeinern viele bekannte Ergebnisse über das mittlere Wachstum verschiedenster, spezieller Verallgemeinerungen der Ziffersumme. Weiters werden die Verteilungseigenschaften modulo 1 von mehrdimensionalen Folgen behandelt, die durch verallgemeinerte Ziffernsummen generiert werden.<br />Insbesondere wird die gemeinsame Verteilung der gewichteten Ziffernsumme in paarweise relativ primen Basen betrachtet und eine offene Frage, aufgeworfen von Pillichshammer, teilweise beantwortet. Des Weiteren wird die Klasse der sogenannten ``Niederreiter-Halton Folgen'' eingeführt, die sowohl die Klasse der niedrigdiskrepanten van der Corput-Halton Folgen als auch die Klasse der digitalen (T,s)-Folgen verallgemeinern und somit auch die niedrigdiskrepanten digitalen (t,s)-Folgen im Sinne von Niederreiter enthalten. Herausarbeiten von Zusammenhängen zwischen der Verteilung modulo 1 der Niederreiter-Halton Folgen und der Verteilung modulo 1 der gemeinsamen Verteilung der gewichteten Ziffernsumme führen hier zum Durchbruch und eine vollstä}ndige Klassifizierung aller gleichverteilten Niederreiter-Halton Folgen wird gefunden. Mitunter helfen diese Ergebnisse auch bei der Erforschung der Verteilung modulo 1 von speziellen Teilfolgen der Niederreiter-Halton Folgen. Da die Niederreiter-Halton Folgen eine Mischform bekannter, niedrigdiskrepanter Folgen darstellen, ist ein genaueres Studium der Verteilungseigenschaften dieser Folgen von großem Interesse. Obwohl sich die Untersuchung der Diskrepanz als äußerst kompliziert herausstellt, finden sich in dieser Arbeit einige interessante Ergebnisse über spezielle Niederreiter-Halton Folgen. Im Zuge der Erforschung der Verteilungseigenschaften modulo 1 scheint die Teilklasse der sogenannten ``endliche Zeile Niederreiter-Halton Folgen'' besonders interessant zu sein. Im letzten Teil dieser Arbeit wird die Existenz ganz spezieller Niederreiter-Halton Folgen in dieser Klasse gesichert und sogar präzise Konstruktionsverfahren angegeben.