Tikhonov regularization with general residual term / Christiane Pöschl

• VerfasserIn: Pöschl, Christiane
• Place / Publishing House: 2008
• Year of Publication: 2008
• Language: English
• Classification: 31.80 - Angewandte Mathematik; 31.48 - Variationsrechnung
• Physical Description: 166 S.; Ill., graph. Darst.
• Notes: http://infmath.uibk.ac.at/

ger: Basierend auf den Ideen von Tikhonov, analysiere ich Variationsmethoden zur Approximation von Lösungen von schlecht gestellten, inversen Problemen. Das Minimierungsfunktional besteht aus einem Regularisierungterm zur Stabilisierung des Verfahrens, und aus einem Vergleichsterm, der dafür sorgt, dass die simulierten Daten (bestimmt durch das Minimierungsfunktional) nahe bei den gemessenen Daten liegen.<br />Die Arbeit beinhaltet eine Analysis solcher Variations mit verallgemeinerten Residual Termen in Bezug auf Stabilität, Konvergenz und Konvergenzraten des Verfahrens, sowie Konvergenz von endlichdimensionale Approximationen zu Lösungen des inversen Problems.<br />Weiters werden spezielle Vergleichsfunktionale (z.B. Bregmandistanzen, f-Divergenzen, Wassersteinmetrik) untersucht, und gezeigt, unter welchen Voraussetzungen diese für die vorgestellte Methode geeignet, bzw.<br />sinnvoll sind. Um minimierende Elemente zu charakterisieren, werden Richtungsableitungen und Konzepte aus der konvexen Analysis (Fenchel Dualität) verwendet.<br />Am Ende analysiere ich volums-bzw. flächenerhaltende Registrierung als spezielle Anwendung und stelle eine mögliche Implementierung des numerisch approximierten Problems vor.<br />

eng: Based on the ideas of Tikhonov, I analyze variational methods for approximation of the solution of inverse and ill-posed problems. The proposed minimization functional contains a general data-fit term (residual or similarity functional) and a regularization term that stabilizes the method. The data-fit term guarantees that the simulated data, that is determined by the minimizing element of the functional, is in some sense close to the measured data.<br />Under certain conditions on the similarity functional and the regularization functional, I prove well-posedness, stability, convergence and convergence rates of this generalized Tikhnov type regularization method.<br />Moreover, I investigate several similarity functionals suitable for this approach, and motivated from different aspects (i.e.: non-Gaussian noise distribution or regularization in spaces without norms). In order to derive a characterization of minimizers of such regularization functionals, I use the concepts of generalized directional derivatives and Fenchel duality.<br />As an application, I consider volume preserving image registration and give an analysis of the numerical approximation, as well as a 3d implementation.