Cycles and the cohomology of arithmetic subgroups of the exceptional group $G_2$_ / Verf. Christoph Waldner

• VerfasserIn: Waldner, Christoph
• Place / Publishing House: 2008
• Year of Publication: 2008
• Language: English
• Classification: 31.30 - Topologische Gruppen. Liegruppen; 31.61 - Algebraische Topologie; 31.14 - Zahlentheorie
• Physical Description: VIII, 72 S.; Ill., graph. Darst.
• Notes: Zsfassung in dt. Sprache

ger: Das Hauptaugenmerk meiner Dissertation ist die geometrische Konstruktion von (Ko-)Homologieklassen für arithmetische Untergruppen von halbeinfachen, über $\Q$ definierten, $\Q$-anisotropen algebraischen Gruppen {\bf G}. Ich untersuche im speziellen eine $\Q$-Gruppe {\bf G}, in der der nicht kompakte Faktor der Gruppe der reellen Punkte ${\bf G}(\R)$, die reelle zerfallende exzeptionelle Lie Gruppe vom Typ $G_2$ ist.<br />All dies basiert auf dem allgemeinen Ansatz Zykel zu konstruieren (wie von J. Millson und M.S. Raghunathan initiiert und von J. Rohlfs und J.<br />Schwermer weitergeführt). Ich kombiniere diese Ergebnisse und erhalte damit eine neue Formel für die Schnittzahl von zwei Zykeln die einander nicht transversal schneiden. Im Falle der Gruppe $G_2$ sind Beiträge der Zykeln zur Homologie in folgendem Sinn "Vollständig": als erstes gibt es in "jedem" kohomologischen Grad einen nicht trivialen Zykel, der einer unitäre Darstellungen mit nicht-verschwindender Kohomologie entspricht und zweitens benutzten wir jeden auftretenden Typ von reduktiven Untergruppen von {\bf G} um Zykel zu konstruieren. Weiters gebe ich zwei hinreichende Kriterien an Zykel an, die zeigen das die Poincar\'e duale Klasse zu dem Zykel durch eine Differentialform, die nicht invariant unter ${\bf G}(\R)$ ist, gegeben ist.<br />

eng: The main focus of my doctoral thesis is the geometric construction of (co)homology classes of arithmetic subgroups of semisimple $\Q$-anisotropic algebraic groups {\bf G} defined over $\Q$.<br />In particular, I discuss a $\Q$-group {\bf G} in which the non compact factor of the group of real points ${\bf G}(\R)$ is the real split exceptional Lie group of type $G_2$.<br />All that is based on the general approach of constructing cycles (as initiated by J. Millson and M.S. Raghunathan and pursued by J. Rohlfs and J. Schwermer). Combining their results I get a new formula for the intersection number of two cycles which intersect each other non-transversely. In the case of the group $G_2$, the description of the contribution of cycles to the homology is "complete" in the following sense: first, we found in "every" cohomological degree a non trivial cycle which corresponds to a unitary representation of $G_2$ with non-zero cohomology and second, we found at least one group of every possible type of reductive subgroups of ${\bf G}$, to get a cycle. Further, I give two sufficient criteria on cycles, which imply that the Poincar\'e dual class to the cycle is represented by a differential form which is not invariant under the action of ${\bf G}(\R)$.