Geometry and Control of Mechanical Systems : an Eulerian, Lagrangian and Hamiltonian Approach / einger. von Markus Schöberl

• VerfasserIn: Schöberl, Markus
• Place / Publishing House: 2007
• Year of Publication: 2007
• Language: English
• Classification: 50.23 - Regelungstechnik. Steuerungstechnik; 50.31 - Technische Mechanik
• Physical Description: 102 Bl.; graph. Darst.
• Notes: Zsfassung in dt. Sprache

ger: Der erste Teil dieser Arbeit behandelt Punkt- und Kontinuumsmechanik mit den Mitteln, welche die Differentialgeometrie bereitstellt. Der Schwerpunkt dieser Dissertation liegt vor allem in der Interpretation bekannter Konzepte der Mechanik mithilfe geometrischer Methoden, und deren Verallgemeinerung basierend auf den Resultaten, welche aus dieser geometrischen Sichtweise herrühren. Ausgangspunkt der Untersuchungen bildet die Analyse der Newtonschen Gleichungen für einen Massenpunkt, der sich in einem Inertialsystem bewegt. Es stellt sich heraus, dass diesen wohlbekannten Relationen sehr tiefgreifende geometrische Strukturen zugrunde liegen, was sich vor allem bei der Definition der Beschleunigung eines Masseteilchens zeigt, wenn andere als Euklidische Koordinaten gewählt werden. Für die geometrische Darstellung der Newtonschen Gleichungen wird zur Beschreibung des Massepunktes eine Konfigurationsmannigfaltigkeit betrachtet und alle weiteren wesentlichen Größen wie zum Beispiel Energie, Geschwindigkeit, Impuls und Beschleunigung werden durch geeignete Bündelstrukturen sowie spezielle Ableitungsoperatoren, die sich durch die Wahl von bestimmen Zusammenhängen (Konnexionen) auf diesen Bündeln ergeben, dargestellt.<br />Als wesentliches intrinsisches Objekt erlangt die Metrik auf der Konfigurationsmannigfaltigkeit jenen ausgezeichneten Stellenwert, als dass sich alle weiteren Konstrukte durch sie zwangsläufig ergeben.<br /> Die Verallgemeinerung auf den Fall beschleunigter Bezugssysteme gelingt, indem man die Konfigurationsmannigfaltigkeit durch ein Bündel ersetzt, wobei nun der wesentliche Unterschied darin besteht, dass die Zeit nun kein Kurvenparameter sondern eine Koordinate ist. Die Beschleunigung des Koordinatensystems im Verhältnis zu einem Inertialsystem kann nun geometrisch wieder durch einen Zusammenhang dargestellt werden, welcher zusätzlich zur Metrik, die jetzt auch explizit zeitabhängig sein kann, eine wesentliche Größe zur intrinsischen Beschreibung ist. Weiters wird gezeigt, dass die Lagrange und die Hamiltonsche Betrachtungsweise, welche in der Regelungstheorie eine herausragende Rolle spielen, auch auf den Fall von Nichtinertialsystemen übertragen werden kann.<br /> Ein weiterer essentieller Punkt dieser Arbeit ist die Analyse der Bewegung und Deformation eines Kontinuums aufbauend auf den Erkenntnissen der Punktmechanik. Hier spielen die Eulersche sowie die Lagrange Betrachtungsweise eine ausgezeichnete Rolle. Die Eulersche Betrachtung folgt unmittelbar aus der Punktmechanik, indem man anstatt von Vektoren und einer Punktmasse nun Massedichten und vektorwertige Formen betrachtet. Ausgehend von dieser Formulierung folgt die Lagrange Beschreibung indem man geometrische Objekte geeignet bezüglich einer Referenzkonfiguration beschreibt.<br /> Der zweite Teil dieser Dissertation beschäftigt sich mit der geometrischen Analyse von zeitvarianten Hamiltonschen Systemen, wobei wieder die koordinatenfreie Darstellung eine wesentliche Rolle spielt.<br />Diese Systeme treten in der Regelungstechnik beispielsweise auf, wenn man das Fehlersystem einer Trajektorienfolgeregelung in Hamiltonscher Schreibweise formulieren kann.<br />

eng: The first part of this thesis discusses point and continuum mechanics using differential geometric methods. Special emphasis is placed on the interpretation of well known results using the geometric machinery and their generalization from a geometric point of view. The point of origin of the investigations are the well known equations from Newton describing how a mass point is moving in an inertial system.<br />These well known equations possess a deep geometric structure, which is easily seen, when the definition of the acceleration of a mass point is given in non Euclidean coordinates. To describe the evolution of the mass point a configuration manifold is chosen and all other essential quantities such as the velocity, the momentum, the acceleration, and the energy are introduced with respect to adequate bundles as well as with respect to differential operators which stem from the choice of special connections. The main intrinsic object on the configuration manifold is the metric since all other objects essential for a coordinate free description depend on the metric, which is defined by the choice of a coordinate system.<br /> The generalization to the case of accelerated coordinate systems can be performed by the replacement of the configuration manifold by a bundle, where the essential difference is given by the fact, that the time becomes a coordinate in contrast to the case where the time is only a curve parameter. The acceleration of the coordinate system with respect to an inertial system can be accomplished in this geometric formulation by a connection as well, which beside the metric that might be time dependent in this setting is now the key ingredient in this intrinsic description. Furthermore, it will be shown that the Lagrangian and the Hamiltonian point of view, which are also important concepts in control theory, can be formulated with respect to non inertial systems.<br /> An essential demand of this thesis is the analysis of the motion and the deformation of a continuum based on the constructions gained when analyzing point mechanics. In this context the Eulerian and the Lagrangian formulation are important to mention. The Eulerian picture follows as a straightforward generalization from the case of particle mechanics, if instead of vectors and a point mass, now mass densities and vector valued forms are considered. Based on this formulation the Lagrangian picture is obtained, by considering geometric objects with respect to a so-called reference configuration.<br /> The second part of this dissertation is focused on the geometric analysis of time variant Hamiltonian systems, where again the coordinate free description plays a key role. These systems arise in the context of control theory for example when the error system with respect to a certain trajectory can be expressed as a Hamiltonian system.