Distributional methods in general relativity / einger. von Roland Steinbauer

• VerfasserIn: Steinbauer, Roland
• Place / Publishing House: 2000
• Year of Publication: 2000
• Language: English
• Physical Description: 126 S.
• Notes: Zsfassung in dt. Sprache
• ac_no: AC03045347
• Hierarchical level: Monograph
• Statement of Responsibility: einger. von Roland Steinbauer

ger: Idealisierungen spielen eine herausragende Rolle bei der Modellierung physikalischer Phaenomene. Oft machen sie diese erst einer theoretischen Beschreibung zugaenglich. Besonders nuetzliche Idealisierungen sind z.B. Punktteilchen und Punktladungen. Ihre mathematische Beschreibung fuehrt in natuerlicher Weise auf die von L. Schwartz begruendete Theorie der Distributionen. Diese ist von Natur aus eine lineare Theorie; das Produkt zweier Distributionen kann im allgemeinen nicht wieder als Distribution aufgefasst werden. Daher sind Anwendungen distributioneller Methoden in nichtlinearen physikalischen Theorien enge Grenzen gesetzt. In dieser Arbeit gehen wir nach einer Zusammenfassung der Theorie der distributionswertigen Schnitte in Vektorbuendeln (Kapitel 1) den Grenzen ihrer Anwendbarkeit in der imanent nichtlinearen Allgemeinen Relativitaetstheorie nach. Einer Arbeit von Geroch und Traschen folgend, kommen wir im 2. Kapitel zum Schluss , dass ein mathematisch konsistenter und physikalisch vernuenftiger, auf der linearen Distributionentheorie aufbauender Formalismus die Beschreibung von so interessanten Raumzeiten wie kosmischen Strings und impulsiven Gravitationswellen ausschliesst. An diesem Punkt tritt die von J. F. Colombeau in den 1980er Jahren entwickelten Theorie der Algebren verallgemeinerter Funktionen auf den Plan. Dieser Zugang ermoeglicht die Konstruktion kommutativer und assoziativer Differentialalgebren, in die der Vektorraum der Distributionen kanonisch als Teilraum und die Algebra der glatten Funktionen als treue Teilalgebra eingebettet sind. Im Lichte des sogenannten 'Unmoeglichkeitsresultats' von L. Schwartz vereinigt sie damit die maximal moeglichen Konsistenzeigenschaften in bezug auf klassische Operationen mit allen wuenschenswerten differential-algebraischen Eigenschaften. Obwohl ein wertvolles Werkzeug zur Behandlung nichtlinearer partieller Differentialgleichungen mit singulaeren Daten oder Koeffizienten, waren Algebren verallgemeinerter Funktionen aufgrund fehlender Diffeomorphismeninvarianz geometrischen Anwendungen anfaenglich nur schwer zugaenglich. Dieser Nachteil konnte erst unlaengst vollstaendig ausgeraeumt werden. Die vorliegende Arbeit beschaeftigt sich nach einer Einfuehrung in die Theorie der Algebren verallgemeinerter Funktionen (Kapitel 3) ausfuehrlich mit der Konstruktion verallgemeinerter Schnitte in Vektorbuendeln (Kapitel 4). Insbesondere konstruieren wir eine Theorie verallgemeinerter Kruemmungsgroessen, die auf Anwendung in der Allgemeinen Relativitaetstheorie zugeschnitten ist. Im abschliessenden 5. Kapitel beschreiben wir detailliert die distributionelle Geometrie impulsiver Gravitationswellen. Wir behandeln die Geodaeten- sowie die geodaetische Deviationsgleichung im zuvor entwickelten Formalismus. Ausserdem wird eine mathematisch korrekte Beschreibung des in der physikalischen Literatur verwendeten, unstetigen Koordinatenwechsels fuer die Metrik impulsiver Gravitationswellen vorgestellt. Wir schliessen mit einem Ausblick auf erfolgversprechende weitere Forschungsprogramme. eng: The aim of this work is a detailed study of applicability and applications of distributional concepts and methods---with a special focus on the theory of algebras of generalized functions---in the theory of general relativity. Idealizations play a crucial role in modeling physical phenomena: in many cases, they are indispensable for making the latter accessible to a theoretical treatment. As typical examples, think of point particles and point charges. On describing these idealizations mathematically one is naturally led to L. Schwartz' theory of distributions. Unfortunately this theory is only linear, a fact that seriously limitates its range of applicability in nonlinear physical theories. In the present work, after reviewing the theory of distribution valued sections in vector bundles (chapter 1), we investigate its usefulness in the inherently nonlinear theory of general relativity. Following Geroch and Traschen, in chapter 2 we draw the conclusion that a mathematically rigorous and physically sensible framework based upon linear distribution theory excludes the description of such interesting space times as cosmic strings and impulsive gravitational waves. At this stage the theory of algebras of generalized functions as developed by J. F. Colombeau throughout the 1980s enters the field. In this approach one constructs associative and commutative differential algebras canonically containing the vector space of distributions as a subspace and the algebra of smooth functions as a faithful subalgebra. Hence, according to L. Schwartz' so-called 'impossibility result', it combines all favorable differential algebraic properties with a maximum of consistency properties with respect to classical operations. Apart from being a valuable tool in the analysis of nonlinear partial differential equations involving singular data or coefficients, the usefulness of algebras of generalized functions for geometric applications in the beginning was seriously restricted due to its lack of diffeomorphism invariance; a flaw that has ultimately been removed only recently. In this work we introduce algebras of generalized functions in chapter 3 and devote the entire chapter 4 to the construction of generalized sections in vector bundles. In particular, we construct a generalized curvature framework well suited to the needs of general relativity. The final chapter 5 provides a detailed distributional description of the geometry of impulsive gravitational waves. We treat the geodesic as well as the geodesic deviation equation for this class of singular space times in the previously developed generalized setting. Moreover, we carry out a detailed mathematical analysis of the discontinuous change of coordinates frequently applied to the impulsive wave metric in physical literature. We conclude this work with an outlook to promising lines of further research.